知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=e^1-x（-a+cosx），a∈R．
（1）若函数f（x）存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（2）若a=0，证明：∀x∈[-
1
2
，1]，总有f（x-1）+2f′（-x）cos（x-1）＞0．

难度：较难

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2．已知函数y= $%20%5Csqrt%20%7Bx%5E%7B2%7D-2x%2Ba%7D$ 的定义域为R，值域为[0，+∞），则实数a的取值集合为 ______ ．

难度：中等

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3．已知a，x∈R，函数 $f%28x%29%3Dsin2x-%282%20%5Csqrt%20%7B2%7D%2B%20%5Csqrt%20%7B2%7Da%29sin%28x%2B%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%29-%20%5Cfrac%20%7B2%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7Bcos%28x-%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B4%7D%29%7D$ ．
（1）设t=sinx+cosx，把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域；
（2）对任意 $x%E2%88%88%5B0%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B%CF%80%7D%7B2%7D%5D$ ，函数f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范围．

难度：中等

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4．已知命题p：∀x∈R，ax²+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是____________．

难度：难

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5．对于抛物线y²=4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是____________．

难度：较易

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6．如图所示，f(x)是定义在区间[-c，c](c＞0)上的奇函数，令g(x)=af(x)+b，并有关于函数g(x)的四个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n(m＜n)， $%20%5Cfrac%20%7Bg%28n%29-g%28m%29%7D%7Bn-m%7D%3E0$ 恒成立；
②函数g(x)是奇函数的充要条件是b=0；
③若a≥1，b＜0，则方程g(x)=0必有3个实数根；
④∀a∈R，g(x)的导函数g′(x)有两个零点；
其中所有正确结论的序号是____________．

难度：较易

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7．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x²+2x．
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；
(Ⅱ)如果对∀x∈R，不等式g(x)+c≤f(x)-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．

难度：较易

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8．已知函数 $f%28x%29%3Dln%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$
(Ⅰ)求函数的定义域，并证明 $f%28x%29%3Dln%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D$ 在定义域上是奇函数；
(Ⅱ)若x∈[2，6]， $f%28x%29%3Dln%20%5Cfrac%20%7Bx%2B1%7D%7Bx-1%7D%3Eln%20%5Cfrac%20%7Bm%7D%7B%28x-1%29%287-x%29%7D$ 恒成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)当n∈N^*时，试比较f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与2n+2n²的大小关系．

难度：较易

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9．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=(a_n+1)(a_n+2)，n∈N^*．
(I)求数列{a_n}的通项公式；
(II)设数列{b_n}满足 $a_%7Bn%7D%282%5E%7Bb_%7Bn%7D%7D-1%29%3D1$ ，记T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：2T_n+1＜log₂(a_n+3)

难度：较难

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10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切n∈N^*，点 $%28n%2C%20%5Cfrac%20%7BS_%7Bn%7D%7D%7Bn%7D%29$ 都在函数 $f%28x%29%3Dx%2B%20%5Cfrac%20%7Ba_%7Bn%7D%7D%7B2x%7D$ 的图象上．
(Ⅰ)求a₁，a₂，a₃及数列{a_n}的通项公式a_n；
(Ⅱ)将数列{a_n}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(a₁)，(a₂，a₃)，(a₄，a₅，a₆)，(a₇，a₈，a₉，a₁₀)；(a₁₁)，(a₁₂，a₁₃)，(a₁₄，a₁₅，a₁₆)，(a₁₇，a₁₈，a₁₉，a₂₀)；(a₂₁)，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
(Ⅲ)令 $g%28n%29%3D%281%2B%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7Ba_%7Bn%7D%7D%29%5E%7Bn%7D$ (n∈N^*)，求证：2≤g(n)＜3．

难度：难

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