知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•蚌埠三模）在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，PA⊥AD，平面PAB⊥平面ABCD，∠BAD=120°，且PA=AB=BC=
1
2
AD=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-D的余弦值．

难度：中等

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2．（2016•河南二模）如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．
（Ⅰ）求二面角A-PE-D的余弦值；
（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

难度：中等

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3．（2016•湖南模拟）如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
（1）证明：PB⊥CD；
（2）求二面角A-PD-B的余弦值．

难度：中等

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4．正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）求四面体ABCD的外接球表面积．

难度：中等

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5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除了A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=BE，AB=4，tan∠EAB=
1
4

（1）证明：平面ADE⊥平面ACD
（2）当AC=BC时，求二面角D-AE-B的余弦值．

难度：中等

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6．如图，四边形ABCD为平行四边形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=
2
．平面ASD⊥平面SDC．
（1）求证：SD⊥AC；
（2）求二面角S-AB-D的余弦值．

难度：中等

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7．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AE⊥平面CDE，AE=DE=2
6
，F为线段ED上的一点．
（Ⅰ）求证：平面AED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角A-CB-E的平面角是二面角A-CB-F的平面角大小的2倍，求EF的长．

难度：较难

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8．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，∠C₁CB=120°．
（1）探究直线BC与直线AB₁的位置关系，并说明理由；
（2）若AB₁=
6
2
AB，求二面角C-AB₁-C₁的余弦值．

难度：中等

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9．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AC₁=B₁C=B₁C₁=2，AC⊥AC₁，B₁C⊥B₁C₁，O为CC₁的中点．
（1）求证：BB₁⊥AB₁；
（2）若AB=2
3
，求平面ABC与平面AOB₁所成二面角的余弦值．

难度：中等

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10．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F为B₁C₁的中点，求二面角A₁-AD₁-F的大小．

难度：中等

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