知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在平面直角坐标系中，矩阵M对应的变换将平面上的任意一点P（x，y）变换为点P′（x-2y，x+y）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求圆x²+y²=1在矩阵M对应的变换作用后得到的曲线C的方程．

难度：较难

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2．已知矩阵M=
a 1
b 1
的一个特征值l所对应的特征向量为
1
0
．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
a b
2 1
，若矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为α₁=
1
-1
，属于特征值4的一个特征向量为α₂=
3
2
．求矩阵A，并写出A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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4．设矩阵M=
1 a
b 1
．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）若曲线C：x²+4xy+2y²=1在矩阵M的作用下变换成曲线C′：x²-2y²=1，求a+b的值．

难度：较难

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5．已知直线l：2x-y=3，若矩阵A=
-1 a
b 3
a，b∈R所对应的变换σ把直线l变换为它自身．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

难度：较难

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6．已知矩阵A=
3 3
2 4
．
（1）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵A的特征值和特征向量；
（3）求圆x²+y²=1在经过矩阵A对应的变换后得到的曲线的方程．

难度：中等

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7．已知矩阵A=
2 1
4 3
，B=
1 1
0 -1

（1）求A的逆矩阵A^-1；
（2）求矩阵C，使得AC=B．

难度：较难

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8．已知矩阵A的逆矩阵A^-1=
2
2
2
2
-
2
2
2
2
．求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得的曲线方程．

难度：较难

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9．已知点A（1，1）在矩阵M=
1 a
0 b
对应的变换作用下得到点B（1，2），点B在矩阵N=
m -1
n 0
对应的变换作用下得到点C（-2，1），求矩阵MN的逆矩阵．

难度：中等

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10．给定矩阵A、B、C，若矩阵A可逆且满足BA=CA．求证：B=A．

难度：较易

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