函数f（x）=lnx，g（x）=x²．
（1）求函数h（x）=f（x）-x+1的最大值；
（2）对于任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₂＜x₁，是否存在实数m，使mg（x₂）-mg（x₁）＞x₁f（x₁）-x₂f（x₂）恒成立，若存在求出m的范围，若不存在，说明理由；
（3）若正项数列{a_n}满足\(a_{1}= \frac {1}{2}， \frac {1}{a_{n+1}}= \frac {(1+a_{n})a_{n}}{2g(a_{n})}\)，且数列{a_n}的前n项和为S_n，试判断\(2e^{S_{n}}\)与2ⁿ+1的大小，并加以证明．

【考点】导数在解决实际问题中的应用，数列的综合应用

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