如图所示，长为\(L\)、密度为\(ρ\)的均匀细棒下端系一根细线，细线的另一端被拴在杯底\(A\)点处，细棒竖直浸没在杯中的液体内，液体密度为\(ρ_{0}(ρ_{0}=4ρ)\)，现打开杯底阀门\(k\)，使液体缓慢流出，当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾斜，则该长度的最小值是多少？