已知函数\(f(x)=\log _{2}(x+t)\)，且\(f(0)\)，\(f(1)\)，\(f(3)\)成等差数列，点\(P\)是函数\(y=f(x)\)图象上任意一点，点\(P\)关于原点的对称点\(Q\)的轨迹是函数\(y=g(x)\)的图象．
\((1)\)解关于\(x\)的不等式\(2f(x)+g(x)\geqslant 0\)；
\((2)\)当\(x∈[0,1)\)时，总有\(2f(x)+g(x)\geqslant m\)恒成立，求\(m\)的取值范围．