如图，在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，底面\(ABC\)为正三角形，侧棱\(AA_{1}⊥\)底面\(ABC.\)已知\(D\)是\(BC\)的中点，\(AB=AA_{1}=2\)．
\((\)Ⅰ\()\)求证：平面\(AB_{1}D⊥\)平面\(BB_{1}C_{1}C\)；
\((\)Ⅱ\()\)求证：\(A_{1}C/\!/\)平面\(AB_{1}D\)；
\((\)Ⅲ\()\)求三棱锥\(A_{1}-AB_{1}D\)的体积．