对于平面直角坐标系\(xOy\)中的点\(P\)和\(\odot M\)，给出如下定义：若\(\odot M\)上存在两个点\(A\)，\(B\)，使\(AB=2PM\)，则称点\(P\)为\(\odot M\)的“美好点”．

\((1)\)当\(\odot M\)半径为\(2\)，点\(M\)和点\(O\)重合时，

\(\;①\)点\({P}_{1}\left(-2,0\right) \) ，\({P}_{2}\left(1,1\right) \)，\({P}_{3}\left(2,2\right) \)中，\(\odot O\)的“美好点”是_______；

\(\;②\)点\(P\)为直线\(y=x+b\)上一动点，点\(P\)为\(\odot O\)的“美好点”，求\(b\)的取值范围；

\((2)\)点\(M\)为直线\(y=x\)上一动点，以\(2\)为半径作\(\odot M\)，点\(P\)为直线\(y=4\)上一动点，点\(P\)为\(\odot M\)的“美好点”，求点\(M\)的横坐标\(m\)的取值范围．