如图，正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的底面边长是\(2\)，侧棱长是\(\sqrt{3}\)，\(D\)是\(AC\)的中点． \((\)Ⅰ\()\)求证：\(B_{1}C/\!/\)平面\(A_{1}BD\)； \((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A_{1}-BD-A\)的大小； \((\)Ⅲ\()\)在线段\(AA_{1}\)上是否存在一点\(E\)，使得平面\(B_{1}C_{1}E⊥\)平面\(A_{1}BD\)，若存在，求出\(AE\)的长；若不存在，说明理由． --优优班--学霸训练营

如图，正三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)的底面边长是\(2\)，侧棱长是\(\sqrt{3}\)，\(D\)是\(AC\)的中点．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\(B_{1}C/\!/\)平面\(A_{1}BD\)；

\((\)Ⅱ\()\)求二面角\(A_{1}-BD-A\)的大小；

\((\)Ⅲ\()\)在线段\(AA_{1}\)上是否存在一点\(E\)，使得平面\(B_{1}C_{1}E⊥\)平面\(A_{1}BD\)，若存在，求出\(AE\)的长；若不存在，说明理由．

【考点】线面平行的判定,面面垂直的性质,与二面角有关的立体几何综合题

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难度：较难

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