如图，在三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(A{{A}_{1}}=AC\)\(.\)过\(A{{A}_{1}}\)的平面交\({{B}_{1}}{{C}_{1}}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)． \((\)Ⅰ\()\)求证：\({{A}_{1}}C\bot \)平面\(AB{{C}_{1}}\)； \((\)Ⅱ\()\)求证：\({{A}_{1}}A\,{/\!/}\,EF\)； \((\)Ⅲ\()\)记四棱锥\({{B}_{1}}-A{{A}_{1}}EF\)的体积为\({{V}_{1}}\)，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)的体积为\(V.\)若\(\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{6}\)，求\(\dfrac{BF}{BC}\)的值． --优优班--学霸训练营

如图，在三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(A{{A}_{1}}=AC\)\(.\)过\(A{{A}_{1}}\)的平面交\({{B}_{1}}{{C}_{1}}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\({{A}_{1}}C\bot \)平面\(AB{{C}_{1}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)求证：\({{A}_{1}}A\,{/\!/}\,EF\)；

\((\)Ⅲ\()\)记四棱锥\({{B}_{1}}-A{{A}_{1}}EF\)的体积为\({{V}_{1}}\)，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)的体积为\(V.\)若\(\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{6}\)，求\(\dfrac{BF}{BC}\) 的值．

【考点】几何体的侧面积、表面积、体积问题,线面平行的判定,线面垂直的判定

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难度：中等

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