数字 \(1,2,3,\cdots ,n\ \ (n\geqslant 2)\) 的任意一个排列记作 \(({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\) ，设 \({{S}_{n}}\) 为所有这样的排列构成的集合． 集合\({{A}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\) ，都有\({{a}_{i}}-i\leqslant {{a}_{j}}-j\}\) ；集合\({{B}_{n}}=\{({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}})\in {{S}_{n}}| \)任意整数\(i,j,1\leqslant i < j\leqslant n\) ，都有\({{a}_{i}}+i\leqslant {{a}_{j}}+j\}\) ．
\((\)Ⅰ\()\)用列举法表示集合\({{A}_{3}}\) ，\({{B}_{3}}\) ；
\((\)Ⅱ\()\)求集合\({{A}_{n}}\bigcap {{B}_{n}}\) 的元素个数；

\((\)Ⅲ\()\)记集合\({{B}_{n}}\)的元素个数为\({{b}_{n}}\)\(.\)证明：数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是等比数列．