设数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(①a_{1}=1\)；\(②\)所有项\(a_{n}∈N^{*}\)；\(③1=a_{1} < a_{2} < … < a_{n} < a_{n+1} < …\)设集合\(A_{m}=\{n|a_{n}\leqslant m,m∈N^{*}\}\)，将集合\(A_{m}\)中的元素的最大值记为\(b_{m}.\)换句话说，\(b_{m}\)是数列\(\{a_{n}\}\)中满足不等式\(a_{n}\leqslant m\)的所有项的项数的最大值\(.\)我们称数列\(\{b_{n}\}\)为数列\(\{a_{n}\}\)的伴随数列\(.\)例如，数列\(1\)，\(3\)，\(5\)的伴随数列为\(1\)，\(1\)，\(2\)，\(2\)，\(3\)．
\((1)\)请写出数列\(1\)，\(4\)，\(7\)的伴随数列；
\((2)\)设\(a_{n}=3^{n-1}\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的伴随数列\(\{b_{n}\}\)的前\(20\)之和；
\((3)\)若数列\(\{a_{n}\}\)的前\(n\)项和\(S_{n}=n^{2}+c(\)其中\(c\)为常数\()\)，求数列\(\{a_{n}\}\)的伴随数列\(\{b_{m}\}\)的前\(m\)项和\(T_{m}\)．