如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD⊥BC\)于点\(D\)，\(BC=12cm\)，\(AD=8cm.\)点\(P\)从点\(B\)出发，在线段\(BC\)上以每秒\(3cm\)的速度向点\(C\)匀速运动，与此同时，垂直于\(AD\)的直线\(m\)从底边\(BC\)出发，以每秒\(2cm\)的速度沿\(DA\)方向匀速平移，分别交\(AB\)，\(AC\)，\(AD\)于\(E\)，\(F\)，\(H\)，当点\(P\)到达点\(C\)时，点\(P\)与直线\(m\)同时停止运动，设运动时间为\(t\)秒\((t > 0)\)．

\((1)\)连接\(DE\)、\(DF\)，当\(t\)为何值时，四边形\(AEDF\)为菱形？
\((2)\)连接\(PE\)、\(PF\)，在整个运动过程中，\(\triangle PEF\)的面积是否存在最大值？若存在，试求当\(\triangle PEF\)的面积最大时，线段\(BP\)的长．
\((3)\)是否存在某一时刻\(t\)，使点\(F\)在线段\(EP\)的中垂线上？若存在，请求出此时刻\(t\)的值；若不存在，请说明理由．