已知\(AB\)是\(⊙O\)的直径，\(PB\)是\(⊙O\)的切线，\(C\)是\(⊙O\)上的点，\(AC/\!/OP\)，\(M\)是直径\(AB\)上的动点，\(A\)与直线\(CM\)上的点连线距离的最小值为\(d\)，\(B\)与直线\(CM\)上的点连线距离的最小值为\(f\)． \((1)\)求证：\(PC\)是\(⊙O\)的切线； \((2)\)设\(OP= \dfrac{3}{2} AC\)，求\(∠CPO\)的正弦值； \((3)\)设\(AC=9\)，\(AB=15\)，求\(d+f\)的取值范围． --优优班--学霸训练营

已知\(AB\)是\(⊙O\)的直径，\(PB\)是\(⊙O\)的切线，\(C\)是\(⊙O\)上的点，\(AC/\!/OP\)，\(M\)是直径\(AB\)上的动点，\(A\)与直线\(CM\)上的点连线距离的最小值为\(d\)，\(B\)与直线\(CM\)上的点连线距离的最小值为\(f\)．

\((1)\)求证：\(PC\)是\(⊙O\)的切线；

\((2)\)设\(OP= \dfrac{3}{2} AC\)，求\(∠CPO\)的正弦值；

\((3)\)设\(AC=9\)，\(AB=15\)，求\(d+f\)的取值范围．

【考点】平行线的性质,全等三角形的性质,全等三角形的判定,等腰三角形的性质,勾股定理,切线的性质,相似三角形的性质,锐角三角函数的定义

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难度：难

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