对于无穷数列\(\{{{a}_{n}}\}\)，\(\{{{b}_{n}}\}\)，若\({{b}_{k}}=\max \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}-\min \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}(k=1,2,3,\cdots )\)，则称\(\{{{b}_{n}}\}\)是\(\{{{a}_{n}}\}\)的“收缩数列”\(.\) 其中，\(\max \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}\)，\(\min \{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\}\)分别表示\({{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{k}}\)中的最大数和最小数．已知\(\{{{a}_{n}}\}\)为无穷数列，其前\(n\)项和为\({{S}_{n}}\)，数列\(\{{{b}_{n}}\}\)是\(\{{{a}_{n}}\}\)的“收缩数列”．

\((\)Ⅰ\()\)若\({{a}_{n}}=2n+1\)，求\(\{{{b}_{n}}\}\)的前\(n\)项和；
\((\)Ⅱ\()\)证明：\(\{{{b}_{n}}\}\)的“收缩数列”仍是\(\{{{b}_{n}}\}\)；

\((\)Ⅲ\()\)若\({{S}_{1}}+{{S}_{2}}+\cdots +{{S}_{n}}=\dfrac{n(n+1)}{2}{{a}_{1}}+\dfrac{n(n-1)}{2}{{b}_{n}}(n=1,2,3,\cdots )\)，求所有满足该条件的\(\{{{a}_{n}}\}\)．