已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\({{a}_{n+2}}=(1+{{\cos }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}){{a}_{n}}+{{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}\)，\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\) \((\)Ⅰ\()①\)求\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)，\(a_{6}\)； \(②\)证明数列\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a_{7}\)，\(…\)，\(a_{2k-1}\)，\(…(k∈N^{*})\)成等差数列 \((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{2n-1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n+1}}}+{{a}_{2n+1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n-1}}}}\)，若\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)，求\(T

已知数列\(\{a_{n}\}\)满足：\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\({{a}_{n+2}}=(1+{{\cos }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}){{a}_{n}}+{{\sin }^{2}}\dfrac{n\pi }{2}\)，\(n=1\)，\(2\)，\(3\)，\(…\)

\((\)Ⅰ\()①\)求\(a_{3}\)，\(a_{4}\)，\(a_{5}\)，\(a_{6}\)；

\(②\)证明数列\(a_{1}\)，\(a_{3}\)，\(a_{5}\)，\(a_{7}\)，\(…\)，\(a_{2k-1}\)，\(…(k∈N^{*})\)成等差数列

\((\)Ⅱ\()\)设\({{b}_{n}}=\dfrac{1}{{{a}_{2n-1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n+1}}}+{{a}_{2n+1}}\cdot \sqrt{{{a}_{2n-1}}}}\)，若\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+…+b_{n}\)，求\(T_{n}\)

【考点】等差数列的概念,数列的递推关系,数列的求和,数列的通项公式

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难度：难

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