已知数列\({a}_{n} \)满足\({a}_{1}= \dfrac{2}{5} \)，\({a}_{n+1}= \dfrac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}} \)，\(n∈{N}^{*} \) ． \((1)\)求\(\left\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}ight\} \)的通项公式； \((2)\)设\({a}_{n} \)的前\(n \)项的和为\({S}_{n} \)，求证：\( \dfrac{6}{5}\left(1-{\left( \dfrac{2}{3}ight)}^{n}ight)\leqslant {S}

已知数列\({a}_{n} \)满足\({a}_{1}= \dfrac{2}{5} \)，\({a}_{n+1}= \dfrac{2{a}_{n}}{3-{a}_{n}} \)，\(n∈{N}^{*} \) ．

\((1)\)求\(\left\{ \dfrac{1}{{a}_{n}}\right\} \)的通项公式；

\((2)\)设\({a}_{n} \)的前\(n \)项的和为\({S}_{n} \)，求证：\( \dfrac{6}{5}\left(1-{\left( \dfrac{2}{3}\right)}^{n}\right)\leqslant {S}_{n} < \dfrac{21}{13} \) ．

【考点】不等式性质,等差数列与等比数列的综合应用,数列的递推关系

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难度：难

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