已知抛物线\(y=a{{x}^{2}}+bx+c\)过点\(M(0,3)\)，且关于\(x\)的方程\({{x}^{2}}-(2a-1)x-({{b}^{2}}+3a-4b+\dfrac{19}{4})=0\)有两个相等的实数根． \((1)\)求抛物线的解析式；\((2)\)过点\(P(0,t)\)作\(y\)轴的垂线交抛物线于点\(A\)和点\(B(\)点\(A\)在点\(B\)的左侧\()\)． \(①\)若\(BP\) \(=\)\(2PA\) ，试求\(t\)的值； \(②\)设抛物线的顶点为\(E\)，\(\triangle ABM\)的外接圆\(O{{{'}}}\)与抛物线交于另一点\(N\)，若直线\(EN\)与圆\(O{{{'}}}\)相切，试求\(t\)的值． --优优班--学霸训练营

已知抛物线\(y=a{{x}^{2}}+bx+c\)过点\(M(0,3)\)，且关于\(x\)的方程\({{x}^{2}}-(2a-1)x-({{b}^{2}}+3a-4b+\dfrac{19}{4})=0\)有两个相等的实数根．

\((1)\)求抛物线的解析式；
\((2)\)过点\(P(0,t)\)作\(y\)轴的垂线交抛物线于点\(A\)和点\(B(\)点\(A\)在点\(B\)的左侧\()\)．
\(①\)若\(BP\) \(=\)\(2PA\) ，试求\(t\)的值；

\(②\)设抛物线的顶点为\(E\)，\(\triangle ABM\)的外接圆\(O{{{'}}}\)与抛物线交于另一点\(N\)，若直线\(EN\)与圆\(O{{{'}}}\)相切，试求\(t\)的值．

【考点】一元二次方程根的判别式,二次函数的性质,二次函数与一元二次方程,勾股定理,切线的性质,两点间的距离公式

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难度：难

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