如图，在四棱锥\(P\)\(­\)\(ABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\)\(⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA\)\(=\)\(AD\)\(=4\)，\(AB\)\(=2.\)以\(BD\)的中点\(O\)为球心，\(BD\)为直径的球面交\(PD\)于点\(M\)．

\((1)\)求证：平面\(ABM\)\(⊥\)平面\(PCD\)；

\((2)\)求直线\(PC\)与平面\(ABM\)所成角的正切值；

\((3)\)求点\(O\)到平面\(ABM\)的距离．

【考点】面面垂直的判定,面面垂直的性质,线面平行的性质,利用空间向量判定面面的垂直、平行关系,利用空间向量求点、线、面之间的距离,线面垂直的性质,空间向量的数量积及运算律,线面垂直的判定,空间中的距离,空间直角坐标系,直线与平面所成角,三垂线定理及其逆定理

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