已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} ight\}\)的前\(n\)和为\({{S}_{n}}\)，且满足\({{S}_{2}}=3,\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}2{{S}_{n}}=n+n{{a}_{n}},\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}n\in {{N}^{*}}\) \((1)\)求\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)，并求出数列\(\left\{ {{a}_{n}} ight\}\)的通项公式； \((2)\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}+1}}-1\)，证明：\(\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}+\dfrac{{{b}_{2}}}{{{b}_{3}}}+\cdots +\dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}} < \dfrac{n}{2}(n\in {{N}^{*}})\)--优优班--学霸训练营

已知数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的前\(n\)和为\({{S}_{n}}\)，且满足\({{S}_{2}}=3,\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}2{{S}_{n}}=n+n{{a}_{n}},\begin{matrix} {} \\ \end{matrix}n\in {{N}^{*}}\)

\((1)\)求\({{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},{{a}_{4}}\)，并求出数列\(\left\{ {{a}_{n}} \right\}\)的通项公式；

\((2)\)设\({{b}_{n}}={{2}^{{{a}_{n}}+1}}-1\)，证明：\(\dfrac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}+\dfrac{{{b}_{2}}}{{{b}_{3}}}+\cdots +\dfrac{{{b}_{n}}}{{{b}_{n+1}}} < \dfrac{n}{2}(n\in {{N}^{*}})\)

【考点】用数学归纳法证明不等式,数学归纳法,数列的递推关系,数列的求和,数列的通项公式

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难度：中等

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