已知椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率\(e\)\(= \dfrac{ \sqrt{2}}{2}\)，一条准线方程为\(x\)\(= 2.\)过椭圆的上顶点\(A\)作一条与\(x\)轴、\(y\)轴都不垂直的直线交椭圆于另一点\(P\)，\(P\)关于\(x\)轴的对称点为\(Q\)． \((1)\)求椭圆的方程； \((2)\)若直线\(AP\)，\(AQ\)与\(x\)轴交点的横坐标分别为\(m\)，\(n\)，求证：\(mn\)为常数，并求出此常数．--优优班--学霸训练营

已知椭圆\( \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+ \dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(\)\(a\)\( > \)\(b\)\( > 0)\)的离心率\(e\)\(= \dfrac{ \sqrt{2}}{2}\)，一条准线方程为\(x\)\(= 2.\)过椭圆的上顶点\(A\)作一条与\(x\)轴、\(y\)轴都不垂直的直线交椭圆于另一点\(P\)，\(P\)关于\(x\)轴的对称点为\(Q\)．

\((1)\)求椭圆的方程；

\((2)\)若直线\(AP\)，\(AQ\)与\(x\)轴交点的横坐标分别为\(m\)，\(n\)，求证：\(mn\)为常数，并求出此常数．

【考点】椭圆的概念及标准方程,定点与定值问题,直线与椭圆的位置关系

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难度：易

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