\((I)\)如图，过圆\(O\)外一点\(P\)作圆\(O\)的切线\(PA\)，切点为\(A\)，连接\(OP\)与圆\(O\)交于点\(C\)，过点\(C\)作\(AP\)的垂线，垂足为\(D.\)若\(PA=2\sqrt{5}\)，\(PC∶PO=1∶3\)，求\(CD\)的长．
\((II)\)已知矩阵\(A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}\)，列向量\(X=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\)，若\(AX=B\)，请直接写出\(A^{-1}\)，并求出\(X\)．
\((III)\)在平面直角坐标系中，以原点\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴，建立极坐标系\(.\)已知圆\(ρ=4\sin \left( \theta{+}\dfrac{\pi}{6} \right)\)被射线\(θ=θ_{0}\left( \rho{\geqslant }0\mathrm{{,}}\theta_{0}\mathrm{{为常数}}\mathrm{{,}}\mathrm{{且}}\theta_{0}\mathrm{{∈}}\left( 0\mathrm{{,}}\dfrac{\pi}{2} \right) \right)\)所截得的弦长为\(2\sqrt{3}\)，求\(θ_{0}\)的值．
\((IV)\)已知\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(2x+y=6\)，求\(4x^{2}+y^{2}\)的最小值．