已知函数g（x）=

1

x•sinθ

+2lnx在[

1

2

，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-

m-1

x

，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）当m≥1，x≥1时，求证：f（x）≥g（x）；
（3）设h（x）=

2e

x

，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立，求m的取值范围．

【考点】函数单调性的性质

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