某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l₁，l₂，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l₁，l₂的距离分别为5千米和80千米，点N到l₁的距离为100千米，以l₁，l₂ 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=

a

x

模型（其中a为常数）．
（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．
①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；
②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．
（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．

【考点】函数模型的选择与应用,导数在最大值、最小值问题中的应用

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