已知函数f（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

．
（1）若函数f（x）在区间（0，k）上存在零点，求实数k的取值范围；
（2）记P_n（n，lnn）（n∈N₊），线段P_nP_n+1的斜率为k_n，S_n=

1

k1

+

1

k2

+…+

1

kn

，求证：S_n＜

n(n+2)

2

．

【考点】函数零点的判定定理,利用导数研究函数的单调性,数列的求和,数列与解析几何的综合,直线的斜率

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