对于定义在给定区间[a，b]上的函数f（x），g（x），若存在k∈（a，b），使得f（k）=g（k）．则我们称函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上是可粘合的，x=k为粘点，并记F（x）=

f(x)，x∈[a，k] g(x)，x∈(k，b]

为f（x）与g（x）的粘合函数．
（1）若x=2是函数f（x）=2^x+3m与g（x）=m²log₂x在区间[1，4]上是一个粘点，求实数m的值；
（2）若函数f（x）=cosx与g（x）在区间[-

π

2

，π]的中点处的粘合函数F（x）的图象关于过粘点的直线对称，试作出F（x）的大致图象，并写出解析式．
（3）若函数f（x）=p（cosx+3）-2与 g（x）=

3

psinx在任何R的子区间[a，b]上均不是可粘合的，求实数p的取值范围．

【考点】函数解析式的求解及常用方法,对数函数图象与性质的综合应用

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