已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在

x≥0 x-y≥0

，所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）将函数y=f（x）的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数y=g（x）的图象，试证明：当a=

1

2

时，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

【考点】简单复合函数的导数,二元一次不等式（组）与平面区域,数学归纳法

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