如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥BB₁C₁C，BC=1，AB=BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）P是线段BB₁上的动点，当平面C₁AP⊥平面AA₁B₁B时，求线段B₁P的长；
（Ⅲ）若E为BB₁的中点，求二面角C₁-AE-A₁平面角的余弦值．

【考点】直线与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

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