已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有OA1=12（OA+OB），OB1=12（OB+OC），OC1=12（OC+OA），由A1，B1，C1三点构成一个新的△A1B1C1，面积记为S1；OA2=12（OA1+OB1），OB2=12（OB1+OC1），OC2=12（OC1+OA1），再由A2，B2，C2三点构成一个新的△A2B2C2，面积记为S2；OA3=12（OA2+OB2），OB3=12（OB2+OC2），OC3=12（OC2+OA2），再由A3，B3，C3三点构成一个新的△A3B3C3，面积记为S3．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△AnBnCn，面积记为Sn．（1）求证：数列{Sn}为等比数列；（2）令Tn=-Snlog4Sn3，求S=T1+T2+T3+…+Tn的和值．--优优班--学霸训练营

已知边长为2的等边△ABC，O为△ABC的重心．有
OA1
=
1
2
（
OA
+
OB
），
OB1
=
1
2
（
OB
+
OC
），
OC1
=
1
2
（
OC
+
OA
），由A₁，B₁，C₁三点构成一个新的△A₁B₁C₁，面积记为S₁；
OA2
=
1
2
（
OA1
+
OB1
），
OB2
=
1
2
（
OB1
+
OC1
），
OC2
=
1
2
（
OC1
+
OA1
），再由A₂，B₂，C₂三点构成一个新的△A₂B₂C₂，面积记为S₂；
OA3
=
1
2
（
OA2
+
OB2
），
OB3
=
1
2
（
OB2
+
OC2
），
OC3
=
1
2
（
OC2
+
OA2
），再由A₃，B₃，C₃三点构成一个新的△A₃B₃C₃，面积记为S₃．按照上述规则依次作下去，作得第n个三角形为△A_nB_nC_n，面积记为S_n．
（1）求证：数列{S_n}为等比数列；
（2）令T_n=-S_nlog₄
Sn
3
，求S=T₁+T₂+T₃+…+T_n的和值．

【考点】数列的应用,数列与向量的综合

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难度：较难

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