设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

【考点】利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,用数学归纳法证明不等式

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