巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R，g（x）=ln²x+2a²+

1

2

．
（1）证明：当a＞0时，对于任意不相等的两个正实数x₁、x₂，均有

f( x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）成立；
（2）记h（x）=

f(x)+g(x)

2

，
    （i）若y=h′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
    （ii）证明：h（x）≥

1

2

．

【考点】函数的单调性与导数的关系,不等式的综合,比较法

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