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优优班--学霸训练营
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设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x
*
∈(0,1),使得f(x)在[0,x
•
]上单调递增,在[x
•
,1]单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x
•
为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(Ⅰ)证明:对任意的x
1
,x
2
∈(0,1),x
1
<x
2
,若f(x
1
)≥f(x
2
),则(0,x
2
)为含峰区间;若f(x
1
)≤f(x
2
),则(x
1
,1)为含峰区间;
(Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x
1
,x
2
∈(0,1),满足x
2
-x
1
≥2r,使得由(Ⅰ)确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;
(Ⅲ)选取x
1
,x
2
∈(0,1),x
1
<x
2
由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0,x
2
)或(x
1
,1),在所得的含峰区间内选取x
3
,由x
3
与x
1
或x
3
与x
2
类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x
2
)的情况下,试确定x
1
,x
2
,x
3
的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法,单峰函数
【分析】
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【解答】
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难度:较难
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