简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式。
\((1)\)一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动。如图\(1\)所示，将两个劲度系数分别为\(k_{1}\)和 \(k_{2}\)的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为\(m\)的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以\(O\)为平衡位置往复运动。请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动。
\((2)\)以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动。但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度\(v\)与其偏离平衡位置的位移\(x\)之间的关系就都可以表示为\(v^{2}= v_{0}^{2}- ax^{2}\)，其中\(v_{0}\)为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，\(a\)为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。请你证明，图\(1\) 中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的\(a\)与哪些物理量有关。已知弹簧的弹性势能可以表达为\(\dfrac{1}{2}k{{x}^{2}}\)，其中\(k\)是弹簧的劲度系数，\(x\)是弹簧的形变量。
\((3)\)一质点以速度\(v_{0}\)做半径为\(R\)的匀速圆周运动，如图\(2\)所示。请结合第\((2)\)问中的信息，分析论证小球在\(x\)方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征。