如图所示，\(AB\)部分为光滑水平面，\(BC\)部分是处于竖直平面内半径为\(R\)的光滑圆管形半圆轨道，\(B\)点是最低点，\(C\)点是最高点，\(C\)点切线沿水平方向，圆管截面半径\(r\ll R.\)有一个质量\(m\)的\(a\)球以水平初速度向右运动碰撞到原来静止在水平面上的质量为\(3m\)的\(b\)球，两球发生对心碰撞，碰撞时间极短，并且碰撞时没有能量损失，碰后\(b\)球顺利进入光滑圆管\((B\)点无能量损失，小球的半径比圆管半径\(r\)略小\()\)，它经过最高点\(C\)后飞出，最后落在水平地面上的\(A\)点，已知\(AB\)的距离为\(2R\)，重力加速度为\(g.\)求：

\((1)\)小球\(b\)运动到\(C\)点时对轨道的压力；

\((2)\)碰后小球\(a\)的速度为多少．

\((2)\) 当小球在最高点时的速度为\(3m/s\)，绳对小球的拉力；

\((3)\) 试证明：在能够完成竖直平面内做圆周运动的情况下，无论小球在最低点的初速度怎样，在最低点和最高点时绳子上的张力差总为\(30N\)。\((\)不计空气阻力\()\)

\(2016\)年\(11\)月\(1\)日广东珠海开幕的第十一届中国国际航空航天博览会上，空军“八一”飞行表演队的\(6\)架歼\(10\)战斗机为现场数千名观众带来了一场震撼表演\(.\)某次飞行表演中，飞行员驾驶飞机在竖直面内做半径为\(R\)的圆周运动，在最高点时飞行员头朝下，已知飞行员质量为\(m\)，飞行员在最低点能承受的最大竖直加速度为\(5g\)，\(g\)为重力加速度．

\((1)\)若飞机在最高点时，座椅对飞行员的弹力大小和飞机在地面上起飞前一样\(.\)求飞机在最高点时的速度\(v\)\({\,\!}_{1}\)；

\((2)\)求飞机在最低点的最大飞行速度\(v\)\({\,\!}_{2}\)；

\((3)\)为保证飞行员安全，在飞机以\((1)\)中的速度\(v\)\({\,\!}_{1}\)从最高点加速飞到最低点的过程中，求飞机对飞行员所做功的最大值\(W\)\({\,\!}_{m}\)．

水平匀速转动的圆盘上，沿半径方向放置以细线连接的质量均为\(m\)的\(A\)、\(B\)两个小物块，\(A\)离轴心的距离为\(r_{1}=20cm\)，\(B\)离轴心的距离为\(r_{2}=30cm\)，\(A\)、\(B\)与盘面间的最大静摩擦力均为其重力的\(0.4\)倍。求：

\((1)\)细线上没有张力，圆盘转动的角速度\(ω_{0}\)应满足的条件

\((2)A\)、\(B\)不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度\(ω_{max}\)

\((3)\)圆盘转动的角速度达到最大值\(ω_{max}\)的瞬间，剪断\(AB\)间细线，\(A\)和\(B\)将如何运动\(?(\)提示：\(A\)、\(B\)的运动情况从“圆周运动”、“向心运动”或“离心运动”中选择\()\)

儿童智力拼装玩具“云霄飞车”的部分轨道简化为如下模型：光滑水平轨道\(MN\)与半径为\(R\)的竖直光滑圆弧轨道相切于\(N\)点，质量为\(m\)的小球\(A\)静止于\(P\)点，小球半径远小于\(R\)\(.\)与\(A\)相同的小球\(B\)以速度\(v\)\({\,\!}_{0}\)向右运动，\(A\)、\(B\)碰后粘连在一起\(.\)求当\(v\)\({\,\!}_{0}\)的大小在什么范围时，两小球在圆弧轨道内运动时不会脱离圆弧轨道？已知重力加速度为\(g\)．

如图所示，\(AB\) 为水平绝缘粗糙轨道，动摩擦因数为 \(0.2\)，\(AB\) 距离为 \(3m\)；\(BC\) 为 半径 \(r=1m\) 的竖直光滑绝缘半圆轨道；\(BC\) 的右侧存在竖直向上的匀强电场。一质量 \(m=1kg\)， 电量 \(q=10^{-3}C\) 的带电小球，在功率 \(P\) 恒为 \(4W\) 的水平向右拉力作用下由静止开始运动，到 \(B\) 点时撤去拉力。已知到达 \(B\) 点之前已经做匀速运动，\(( g = 10m / s^{2} )\)求：

\((1)\)小球匀速运动的速度大小

\((2)\)小球从 \(A\) 运动到 \(B\) 所用的时间

\((3)\)为使小球能沿圆轨道从 \(B\) 点运动到 \(C\) 点，匀强电场的电场强度\(E\) 的大小范围\(?\)

如图所示，\(AB\)部分为光滑水平面，\(BC\)部分是处于竖直平面内半径为\(R\)的光滑圆管形半圆轨道，\(B\)点是最低点，\(C\)点是最高点，\(C\)点切线水平方向，圆管截面半径\(r < < R\)。有一个质量为\(m\)的\(a\)球以水平初速度向右运动碰撞到原来静止在水平面上的质量为\(3m\)的\(b\)球，两球发生对心碰撞，碰撞时间极短，并且碰撞时没有能量损失，碰后\(b\)球顺利进入光滑圆管\((B\)点无能量损失，小球的半径比圆管半径\(r\)略小\()\)，它经过最高点\(C\)后飞出，最后落在水平地面上的\(A\)点，已知\(AB\)的距离为\(2R\)。已知重力加速度为\(g\)，求：

\((1)\)小球\(b\)运动到\(C\)点时对轨道的压力；

\((2)\)碰后小球\(a\)的速度大小和方向。