麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在其周围空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场，如图甲所示。
\((1)\)若图甲中磁场\(B\)随时间\(t\)按\(B=B_{0}+kt(B_{0}\)、\(k\)均为正常数\()\)规律变化，形成涡旋电场的电场线是一系列同心圆，单个圆上形成的电场场强大小处处相等。将一个半径为\(r\)的闭合环形导体置于相同半径的电场线位置处，导体中的自由电荷就会在感生电场的作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中产生了感应电动势。求：
\(a.\) 环形导体中感应电动势\(E_{感}\)大小；
\(b.\) 环形导体位置处电场强度\(E\)大小。
\((2)\)电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。它的基本原理如图乙所示，图的上部分为侧视图，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电子在真空室中做圆周运动。图的下部分为真空室的俯视图，电子从电子枪右端逸出，当电磁铁线圈电流的大小与方向变化满足相应的要求时，电子在真空室中沿虚线圆轨迹运动，不断地被加速。若某次加速过程中，电子圆周运动轨迹的半径为\(R\)，圆形轨迹上的磁场为\(B\)\({\,\!}_{1}\)，圆形轨迹区域内磁场的平均值记为\({{\overline{B}}_{{2}}}\)\((\)由于圆形轨迹区域内各处磁场分布可能不均匀，\({{\overline{B}}_{{2}}}\)即为穿过圆形轨道区域内的磁通量与圆的面积比值\()\)。电磁铁中通有如图丙所示的正弦交变电流，设图乙装置中标出的电流方向为正方向。
\(a.\) 在交变电流变化一个周期的时间内，分析说明电子被加速的时间范围；
\(b.\) 若使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，\(B_{1}\)与\({{\overline{B}}_{{2}}}\)之间应满足\(B_{1}=\dfrac{{1}}{{2}}{{\overline{B}}_{{2}}}\)的关系，请写出你的证明过程。