如图\(1\)所示，半径为\(r\)的金属细圆环水平放置，环内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度\(B\)随时间\(t\)的变化关系为\(B=kt(k > 0\)，且为已知的常量\()\)。
\((1)\)已知金属环的电阻为\(R.\)根据法拉第电磁感应定律，求金属环的感应电动势\(E_{感}\)和感应电流\(I\)；
\((2)\)麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场。图\(1\)所示的磁场会在空间产生如图\(2\)所示的圆形涡旋电场，涡旋电场的电场线与金属环是同心圆。金属环中的自由电荷在涡旋电场的作用下做定向运动，形成了感应电流。涡旋电场力\(F\)充当非静电力，其大小与涡旋电场场强\(E\)的关系满足\(F=qE.\)如果移送电荷\(q\)时非静电力所做的功为\(W\)，那么感应电动势\(E_{感}= \dfrac {W}{q}\)。
\(a.\)请推导证明：金属环上某点的场强大小为\(E= \dfrac {1}{2}kr\)；
\(b.\)经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子\((\)即金属原子失去电子后的剩余部分\()\)的碰撞。在考虑大量自由电子的统计结果时，电子与金属离子的碰撞结果可视为导体对电子有连续的阻力，其大小可表示为\(f=bv(b > 0\)，且为已知的常量\()\)。
已知自由电子的电荷量为\(e\)，金属环中自由电子的总数为\(N.\)展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型，并在此基础上，求出金属环中的感应电流\(I\)。
\((3)\)宏观与微观是相互联系的。若该金属单位体积内自由电子数为\(n\)，请你在\((1)\)和\((2)\)的基础上推导该金属的电阻率\(ρ\)与\(n\)、\(b\)的关系式。