5．
（2015春•海淀区期中）某一金属细导线的横截面积为S、电阻率为ρ，将此细导线弯曲成半径为r的导体圆环，细导线的直径远远小于圆环的半径r．将此导体圆环水平地固定，在导体圆环的内部存在竖直向上的匀强磁场，如图甲所示，磁感应强度的大小随时间的变化关系为B=kt（k＞0且为常量）．该变化的磁场会产生涡旋电场，该涡旋电场存在于磁场内外的广阔空间中，其电场线是在水平面内的一系列沿顺时针方向的同心圆（从上向下看），圆心与磁场区域的中心重合，如图乙所示．该涡旋电场会趋使上述金属圆环内的自由电子定向移动，形成电流．在半径为r的圆周上，涡旋电场的电场强度大小E
涡处处相等，并且可以用E
涡=
计算，其中ε为由于磁场变化在半径为r的导体圆环中产生的感生电动势．涡旋电场力与电场强度的关系和静电力与电场强度的关系相同．
经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞．假设电子与金属离子碰撞后其定向运动的速度立刻减为零，之后再次被涡旋电场加速，再次碰撞减速为零，…，依此类推；所有电子与金属离子碰撞的时间间隔都为τ，电子的质量为m、电荷量为-e．忽略电子运动产生的磁场、电子减速过程中的电磁辐射以及电子热运动的影响，不考虑相对论效应．
（1）根据焦耳定律求在τ时间内导体圆环内产生的焦耳热的大小；
（2）求单个电子在与金属离子碰撞过程中损失的动能；
（3）设金属细导线单位体积内的自由电子数为n，在题干中的情景和模型的基础上推导金属细导线的电阻率ρ的表达式（结果用n、e、τ、m表示）．