知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读材料，回答问题：材料：为解方程x⁴-x²-6=0，然后设x²=y，于是原方程可化为y²-y-6=0，解得y₁=-2，y₂=3．当y=-2时，x²=-2不合题意舍去；当y=3时，x²=3，解得x₁=
3
，x₂=-
3
．故原方程的根为x₁=
3
，x₂=-
3
．
请你参照材料给出的解题方法，解下列方程
①（x²-x）²-4（x²-x）-12=0．
②
2x-1
x
-
3x
2x-1
=2．

难度：较难

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2．用适当的方法解方程
（1）（x+2）²-8=0；
（2）x（x-3）=x；
（3）x²+5x-4=0；
（4）
(x-1)2
x2
-
x-1
x
-2=0．

难度：中等

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3．解方程：
（1）2x²-5x+2=0
（2）16（x+5）²-8（x+5）=0
（3）x²+4x-1=0
（4）（x+1）（x+2）=2x+4
（5）
x-1
x
+
x
x-1
=
5
2

（6）已知x为实数，且
3
x2+3x
-（x²+3x）=2，求x²+3x的值．

难度：中等

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4．解答方程或方程组
（1）化简(
a+1
a-1
+
1
a2-2a+1
)÷
a
a-1
，然后选取一个使原式有意义的a值代入求值．
（2）解方程：(
x-1
x
)2-14=
5x-5
x
．

难度：中等

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5．解方程：x²+2x-
6
x2+2x
=1．

难度：中等

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6．在分式方程
2x+1
x2
+
2x2
2x+1
=1中，令y=
2x+1
x2
，则原方程可化为关于y的方程是．

难度：较易

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7．解方程（组）：
（1）（2x+1）²=（x-1）²．
（2）
x+y=3
x2+y2+2x+2y=11
．
（3）
2x
2-x
-1=
4
x2-4
+
3
x-2
．
（4）
x2+1
x+2
+
2x+4
x2+1
=3．

难度：较难

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8．若x²+2x-
24
x2+2x
=5，则x²+2x= ．

难度：较易

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9．阅读下面的材料：
例：用换元法解分式方程已知
x2-5
x-1
+
10x-10
x2-5
=7
解：设y=
x2-5
x-1
，则原方程可化为y+
10
y
=7，即y²-7y+10=0．
解这个方程得y₁=5，y₂=2
由y₁=
x2-5
x-1
=5解方程x²-5x=0，解得x₁=0，x₂=5
由y₂=
x2-5
x-1
=2得方程x²-2x-3=0，解得x₃=-1，x₄=3
经检验x₁=0，x₂=5，x₃=-1，x₄=3都是原方程的解．
学习例题的方法，请你用换元法解下列分式方程：（
x
x-1
）²-5（
x
x-1
）-6=0．

难度：中等

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10．阅读理解题：一次数学兴趣小组的活动课上，师生有下面一段对话，请你阅读完后再解答下面问题
老师：同学们，今天我们来探索如下方程的解法：（x²-x）²-8（x²-x）+12=0
学生甲：老师，先去括号，再合并同类项，行吗？
老师：这样，原方程可整理为x⁴-2x³-7x²+8x+12=0，次数变成了4次，用现有的知识无法解答．同学们再观察观察，看看这个方程有什么特点？
学生乙：我发现方程中x²-x是整体出现的，最好不要去括号！
老师：很好．如果我们把x²-x看成一个整体，用y来表示，那么原方程就变成y²-8y+12=0
全体同学：咦，这不是我们学过的一元二次方程吗？
老师：大家真会观察和思考，太棒了！显然一元二次方程y²-8y+12=0的解是y₁=6，y₂=2，就有x²-x=6或x²-x=2
学生丙：对啦，再解这两个方程，可得原方程的根x₁=3，x₂=-2，x₃=2，x₄=-1，嗬，有这么多根啊
老师：同学们，通常我们把这种方法叫做换元法．在这里，使用它最大的妙处在于降低了原方程的次数，这是一种很重要的转化方法
全体同学：OK！换元法真神奇！
现在，请你用换元法解下列分式方程（
x
x-1
）²-5（
x
x-1
）-6=0．

难度：中等

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