知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．定义：由圆的切线和过切点的弦所组成的角叫做弦切角．如图1，已知AB切⊙O于D点，CD是⊙O的弦，
则图中∠BCD与∠ADC都是弦切角．
（1）如图2，作出∠BCD所夹弧CD所对的圆周角∠M，求证：∠BCD=∠M；
（2）请用文字语言总结（1）中的结论；
（3）如图3，PB切⊙O于B点，PAB交○O于A、B两点，利用（2）中结论，求证：PC²=PA•PB．

难度：较难

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2．阅读下列材料，然后解答问题：
如图（1）：AB是⊙O的直径，AD是⊙O切线，BD交⊙O与点C，求证：∠DAC=∠B
证明：因为AB为直径，AD为切线，所以AB⊥AD，
即∠BAD=90°，故∠DAC+∠BAC=90°，
又因为AB是直径，所以∠ACB=90°，
即∠BAC+∠B=90°，所以∠DAC=∠B．
（1）如图（2）：若AB不是⊙O的直径，上述材料中的其他条件不变，那么∠DAC=∠B还成立吗？如果成立，证明你的结论；如果不成立，猜想∠DAC和∠B的大小关系；
（2）若切线AD和弦AC所夹的角∠DAC叫弦切角，那么通过上述的证明，可得出一个结论：弦切角等于它所夹的弧所对的角．

难度：较难

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3．如图，直线AB切⊙O于点A，点C、D在⊙O上．试探求：
（1）当AD为⊙O的直径时，如图①，∠D与∠CAB的大小关系如何？并说明理由．
（2）当AD不为⊙O的直径时，如图②，∠D与∠CAB的大小关系同②一样吗？为什么？

难度：较易

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4．如图：⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，直线CD分别切⊙O₁于C，切⊙O₂于D，连结CA并延长BD于点E，连结DA并延长交BC于F，连结BA并延长交CD于G．求证：
（1）∠CBD+∠EAF=180°；
（2）GD=GC；
（3）AC•DB=CB•AD．

难度：中等

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5．如图，AB是⊙0的直径，PQ是⊙0的切线，切点为C，求证：∠PCA=∠B．

难度：中等

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6．如图：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，C，P在圆上．求证：∠BAC=∠P．

难度：中等

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7．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于E，过B作⊙O的切线，交AC的延长线于D．求证：∠CBD=
1
2
∠CAB．

难度：较易

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8．如图，直线m与⊙O相切于点A，∠C是弦AB所对的圆周角，试判断∠C与∠1的大小关系．

难度：较易

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9．已知⊙O与⊙O′内切于点A，⊙O的弦BC与⊙O′切于点D，AB、AC与⊙O′分别交于点E、F，AG、EH为⊙O′直径，BO延长线交GH于点M．
（1）证明：BEHM为平行四边形；
（2）若AF=3，HM=1，求DE的长．

难度：中等

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10．阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】
如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

难度：难

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