知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点D是点C关于原点的对称点，连接BD，点E是x轴上的一个动点，过点E做x轴的垂线l交抛物线于点P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点F，当四边形CDFP是平行四边形时，求E点坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使△BDM是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

难度：中等

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2．如图1，抛物线y=ax²+bx+4的图象过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒
2
个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S_△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

难度：中等

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3．图1中，二次函数y=-ax²-4ax-
3
4
的图象c交x轴于A，B两点（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k(k＜-
1
4
)交c于另一点C（x₁，y₁），交y轴于M．
（1）求点A的坐标，并求二次函数的解析式；
（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，-3
3
）且Q点是直线AC上的一个动点．求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；
（3）设P（-1，2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x₂，y₂），连AE交y轴于N．OM•ON是否是一个定值？如果是定值，求出该值；若不是，请说明理由．

难度：中等

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4．如图，直线AB交x轴于点B（2，0），交y轴于点A（0，2），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=3，连接DA，∠DAC=90°．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求D点坐标及过O、D、B三点的抛物线解析式．
（3）若点P是线段OB上的动点，过点P作x轴的垂线交AB于F，交（2）中抛物线于E，连CE，是否存在P使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在说明理由．

难度：中等

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5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-3与x轴相交于点B、y轴相交于点C，过点B、C的抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于另一点A，顶点为D点．
（1）求tan∠OCA的值；
（2）若点P为抛物线上x轴上方一点，且∠DAP=∠ACB，求点P的坐标；
（3）若点Q为抛物线y=-x²+bx+c对称轴上一动点，试探究当点Q为何位置时∠OQC最大，请求出点P的坐标及sin∠OQC的值．

难度：较难

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6．（2016•杭州一模）设k≠0，若函数y₁=（x-k）²+2k和y₂=-（x+k）²-2k的图象与y轴依次交于A，B两点，函数y₁，y₂的图象的顶点分别为C，D．
（1）当k=1时，请在同一直角坐标系中，分别画出函数y₁，y₂的草图，并根据图象．写出y₁，y₂两图象的位置关系；
（2）当-2＜k＜0时，求线段AB长的取值范围；
（3）A，B，C，D四点构成的图形是否为平行四边形？若是平行四边形，则是否构成菱形或矩形？若能构成菱形或矩形，请直接写出k的值．

难度：中等

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7．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=
1
2
x+2交于C，D两点，其中点 C在y轴上，点D的坐标为（3，
7
2
）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上部的抛物线上运动，是否存在这样的点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

难度：中等

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8．原型：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，C是在直线l上的一点，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．易证△ACD∽△CBE．（不需证明）
应用：点A、B在抛物线y=x²上，且OA⊥OB，连结AB与y轴交于点C，点C的坐标为（0，d）．过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为M、N，点M、N的坐标分别为（m，0）、（n，0）．
（1）当OA=OB时，如图②，m=    ，d=    ；
    当OA≠OB，如图③，m=
2
3
时，d=    ．
（2）若将抛物线“y=x²”换成“y=2x²”，其他条件不变，当OA=OB时，d=    ；当OA≠OB，m=1时，d=    ．
探究：若将抛物线“y=x²”换成“y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，解答下列问题：
（1）完成下列表格．
a 1 2 3
1
2

d 1
1
2

（2）猜测d与a的关系，并证明其结论．
拓展：如图④，点A、B在抛物线y=ax²（a＞0）上，且OA⊥OB，连结AB与y轴关于点C，AB的延长线与x轴交于点D．AE⊥x轴，垂足为E，当AE=
4
3a
时，△AOE与△CDO的面积之比为    ．

难度：中等

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9．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=kx²-2kx-3k与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴正半轴交于点A，满足：AO=
3
4
BC．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点E为第一象限内抛物线上的一动点，连接BE交y轴于点D，当点E的横坐标等于线段OD的2倍时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点B作BF⊥BE，点P在抛物线上，连接EP交BF于点F，过点B作BG⊥EF于点H，交直线AE于点G，当∠BGE=90°-
1
2
∠BGF时，求线段EP的长．



难度：中等

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10．（2014•河北模拟）如图，已知过点（0，-
1
4
）的抛物线C₁：y=ax²+bx+c的顶点为Q（1，0），现将该抛物线上所有点的纵坐标加h（h＞0），横坐标不变，得到新的抛物线，记为C₂，在y轴的负半轴作一条平行于x轴的直线，与两条抛物线交于A、B、C、D四点，直线AD与x轴的距离是m²（m＞0）
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）当h=4时，设抛物线C₂与x轴的正半轴交于点E，过点E作x轴的垂线，交直线y=x+1于点F，点P在抛物线C₂上，如果要求S_△EFP≤6时，求点P横坐标x_p的取值范围；
（3）作抛物线C₁的对称轴，与直线AD交于点M，与抛物线C₂交于点N，若点A，C关于y轴对称，求tan∠MDN与tan∠MCQ的比值（用含m的代数式表示）

难度：较易

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