知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•濉溪县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为MN（点M、N分别在边AC、BC上），给出以下判断：
①当MN∥AB时，CM=AM；
②当四边形CMDN为矩形时，AC=BC；
③当点D为AB的中点时，△CMN与△ABC相似；
④当△CMN与△ABC相似时，点D为AB的中点．
其中正确的是（把所有正确的结论的序号都填在横线上）．

难度：较难

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2．如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，且DG平分△ABC的周长，设BC=a、AC=b，AB=c．
（1）求线段BG的长；
（2）求证：DG平分∠EDF；
（3）连接CG，如图2，若△GBD∽△GDF，求证：BG⊥CG．

难度：中等

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3．（2016•利辛县模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，如点P由点B出发向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC向C匀速运动，它们的速度均为1cm/s，连接PQ，设运动时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．
（1）当t何值时，PQ∥BC？
（2）设△AQP面积为S（单位cm²），当t为何值时，S取最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某个时刻t，使线段PQ把△ABC面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．
（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=
2
，求BC的长；
（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=
3
BE；
（3）如图3，若∠BAC=120°，∠EAD=60°，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

难度：中等

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5．（2016•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G．
（1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值；
（2）CE•AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE•AF的值；如果变化，请说明理由；
（3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．

难度：较难

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6．平面直角坐标系中，有A、B、C三点，其中A为原点，点B和点C的坐标分别为（5，0）和（1，2）．
（1）证明：△ABC为Rt△．
（2）请你在直角坐标系中找一点D，使得△ABC与△ABD相似，写出所有满足条件的点D的坐标，并在同一坐标系中画出所有符合要求的三角形．
（3）在第（2）题所作的图中，连接任意两个直角三角形（包括△ABC）的直角顶点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，求取到长度为无理数的线段的概率．

难度：中等

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7．（2016•淅川县一模）在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，点P从B出发，以1厘米/秒的速度沿射线BO运动，设点P运动时间为t（t＞0）秒．△APC是以AP为斜边的等腰直角三角形，且C，O两点在直线BO的同侧，连接OC．
（1）当t=1时，求
AC
AO
的值；
（2）求证：△APB∽△ACO；
（3）设△POC的面积为S，求S与t的函数解析式．

难度：较难

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8．（2015秋•李沧区期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用t表示移动的时间（0≤t≤6），那么：
（1）当t为何值时，QP的长为4
2
？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

难度：中等

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9．如图1，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，垂足为D，且AD=4，DC=2，动点M以每秒2个单位长度的速度从点D出发，沿射线DB做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=1秒时，则CM= ；
（2）当t为何值时，∠AMC=90°；
（3）如图2，过点A作AN∥BC，并使得∠NDB=∠C，求AN•BC的值．

难度：中等

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10．探究问题：
阅读理解：
如图（一），在△ABC中，BA=BC，P点在线段BC上，过A的射线AP上取一点D使得∠ABC=∠ADC=∠а，则总有实数k把线段AD、DB、DC的数量关系连接成AD=kDB+DC，其中k由角а的大小来确定．
探究过程：
（1）如图（二），若角а=60°，我们在AD上取点E，使得∠EBD=60°，从而得到∠ABE=∠CBD，于是可以说明△ABE≌△CBD，则AD=kDB+DC中的k=    ．
（2）如图三，若角а=90°，求证：AD=kDB+DC等式中k=
2
；
问题解决：
（3）①若角а=120°，则（k+1）（k-1）=    ；
②若角а=36°，则k•（k+1）=    ；
问题结论：
（4）综上，我们可以得到一个结论：在“AD、DB、DC的数量关系AD=k•DB+DC”中的k=    （用与角а相关的三角函数来表示）

难度：较易

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