知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：
①正弦定理：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC

②余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，b²=a²+c²-2accosB，c²=a²+b²-2abcosC．
③S_△ABC=
1
2
absin C=
1
2
bcsin A=
1
2
acsin B
请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asin B=
3
b．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．

难度：中等

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2．设ABCD为圆内接四边形，对角线AC平分BD于E．
求证：AB²+BC²+CD²+DA²=2AC²．

难度：中等

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3．在△ABC中，cosA=
b2+c2-a2
2bc
，cosB=
a2+c2-b2
2ac
，cosC=
a2+b2-c2
2ab
，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：
（1）如图，已知△DEF，∠E=60°，DE=4，DF=
13
，求EF的长度；
（2）通过合理的构造，试求cos105°．

难度：中等

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4．已知△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，外接圆的半径为R，证明：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R．

难度：中等

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5．四边形ABCD中，AB=
3
，BC=CD=DA=1．当△ABD和△BCD的面积的平方和为最大时，试确定△ABD为何种三角形？并证明你的结论．

难度：中等

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6．如图，在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，其外接圆的半径为R．求证：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R．（提示：连BO并延长交⊙O于D，连CD）

难度：中等

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7．阅读材料，解答问题：
如图，在锐角三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，△ABC的三个顶点都在⊙O上，且⊙O的半径为R，求证：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
2R．

难度：中等

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8．如图，⊙O是锐角△ABC的外接圆，其半径为R．BC=a，AC=b，AB=c．求证：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R．
[提示：作直径BD，连接CD]•

难度：较易

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9．如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，其半径为R．BC=a，AC=b，AB=c．求证：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R．

难度：中等

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10．在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=
3
，AC=3，CD=
6
，求AB的长．

难度：中等

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