知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．探究：如图①，△ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P．
（1）求证：△ACN≌△CBM；
（2）∠CPN=    °．
应用：将图①的△ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图②、③，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图②中∠CPN=    °；图③中∠CPN=    °．
拓展：若将图①的△ABC改为正n边形，其它条件不变，则∠CPN=    °（用含n的代数式表示）．

难度：中等

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2．已知，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，点E在AD边上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于点F，点M、N分别在射线FE和线段CD上．
（1）求线段CF的长；
（2）如图2，当点M在线段FE上，且AM⊥MN，设FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△AMN为等腰直角三角形，求线段FM的长．

难度：中等

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3．问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P．
独立思考：
（1）AE= cm，△FDM的周长为 cm；
（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论．
拓展延伸：
如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：
①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论．
②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）．

难度：中等

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4．（2016•古冶区一模）如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G．
（1）点C到AB的距离是，点E到CD的距离是；
（2）求证：△BCE≌△GCF；
（3）过点C作CP⊥AB于点P，求CF的长．

难度：中等

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5．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S_{四边形ABCD}=S_△ABF．（S表示面积）
问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，而此时P点正好是线段MN的中点，你能想明白其中的道理吗，请认真理解，然后运用结论解决下面问题．
（1）如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km²）（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，
3
≈1.73）
（2）如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）（6，3）（
9
2
，
9
2
）、（4、2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，请直接写出以点O为顶点的四边形面积的最大值是．

难度：中等

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6．（1）如图1，在矩形ABCD中，点P为边BC上一点，且AB=4，BC=10，∠APD=∠B，BP＜PC，求BP的长；
（2）如图2，在平行四边形ABCD中，AB=2
2
，BC=5，∠APD=∠B=45°，求AP的长；
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=45°，AB=2
2
，在BC边上存在一点P，使得∠APD=90°，则边AD的长满足的条件为．（请直接写出结果）

难度：中等

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7．如图甲，平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD顶点A与原点重合，边AB、AD落在坐标轴上，在正方形内有AE=2，过点E作直线MN⊥AE交BC、CD分别于M、N，连接AM、AN．
（1）在图甲中，直接写出：∠MAN= °，△MCN的周长= ．
（2）在图甲中，设BM=x，求DN的长（用含x的式子表示）．
（3）若线段AE=2在正方形外（只考虑第三象限），请在图乙中作出相应的图形，探索线段BM、MN、DN三者之间的关系并给出证明．

难度：中等

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8．实验与探究
操作发现：
如图（1）某数学活动小组的同学将正方形A′B′C′O的顶点O与正方形ABCD的中心重合，将正方形A′B′C′O绕点O做旋转实验，发现了如下数学问题：
如图（2），在四边形ABCD中，若AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，则BC、CD、AC具有一定的数量关系：．
数学思考：
（1）请你写出图（2）中数学活动小组的同学发现的结论：．（不要求说理或证明）
（2）如图（3），在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，则BC、CD、AC具有怎样的数量关系，请给出证明过程．
拓展探究：
如图（4），在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，且BD=kAB，则BC、CD、AC具有怎样的数量关系？请说明理由．

难度：中等

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9．在矩形ABCD中，点M、N分别在AD、BC上，将矩形沿着MN折叠（点A的对称点为E，点B的对称点为F），点E在CD上，过点E作EG∥AD，交MN于点G．
（1）如图1，求证：△EMG是等腰三角形；
（2）如图2，若AD=2DE，求∠MEG的正切值；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接AG、BG，若△ABG的面积为
15
12
，AB=AM，求NG的长．

难度：中等

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10．在数学的学习中，我们要学会总结，不断地归纳，思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，下面这个问题大家一定似曾相识：
（1）比较大小：①2+3    2
2×3
；②3+
1
4
    2
3×
1
4
；③8+8     2
8×8
；
（2）通过上面三个计算，我们可以初步对任意的非负实数a，b做出猜想：a+b    2
ab
；
（3）思考验证：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，CO为AB边上的中线，AD=2a，DB=2b，试根据图形证明上述不等式a+b    2
ab
，并指出等号成立的条件．
（4）探索应用：如图2有一个等腰梯形工件（厚度不计），其面积为7200cm²，现在要用细包装带如图那样包扎（虚线表示包装带，四点为四边中点），则至少需要包装带的长度为    cm．

难度：较易

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