知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．
（1）如图1，点D是CA延长线上一点，点E在线段AB上，且AD=AE，连接BD和CE，延长CE交BD于点F，连接AF．求证：BD=CE；
（2）在（1）得条件下，求∠AFD的度数；
（3）如图2，点P是△ABC外一点，∠APB=45°，猜想PA、PB、PC三条线段长度之间存在的等量关系，并证明你的结论．

难度：中等

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2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
BC
AC
=
m
n
，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m=n，点E在线段AC上，则
DE
DF
= ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则
DE
DF
= （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC=
5
，BC=2
5
，DF=4
2
，请直接写出CE的长．

难度：中等

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3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同侧作任意Rt△DBC，∠BDC=90°．
（1）若CD=2BD，M是CD中点（如图1），求证：△ADB≌△AMC；

下面是小明的证明过程，请你将它补充完整：
证明：设AB与CD相交于点O，
∵∠BDC=90°，∠BAC=90°，
∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°．
∵∠DOB=∠AOC，
∴∠DBO=∠
∵M是DC的中点，
∴CM=
1
2
CD=
又∵AB=AC，
∴△ADB≌△AMC．
（2）若CD＜BD（如图2），在BD上是否存在一点N，使得△ADN是以DN为斜边的等腰直角三角形？若存在，请在图2中确定点N的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）当CD≠BD时，线段AD，BD与CD满足怎样的数量关系？请直接写出．

难度：中等

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4．（2016•黄冈校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示），那么，在上述旋转过程中：
（1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，设BH=x．
①当△CKH的面积为
5
2
时，求出x的值．
②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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5．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP于点E．设∠PAB=α，∠ACE=β，∠AEC=γ．
（1）依题意补全图1；
（2）若α=15°，直接写出β和γ的度数；
（3）如图2，若60°＜α＜120°，
①判断α，β的数量关系并加以证明；
②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果）

难度：中等

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6．如图①所示的图形像我们常见的学习用品-圆规，我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，那么在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX= °；
②如图③，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；
③如图①，∠ABD、∠ACD的10等分线分别相交于点G₁、G₂、…、G₉，若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度数．

难度：中等

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7．操作：
（1）如图1中，∠C=90°，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）．
（2）已知内角度数的三个三角形如图2，图3，图4所示，请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？若能，请标出分割成的两个等腰三角形各角的度数；
（3）请你从上面两小题中获得的经验，猜想：任何三角形都能被分割成两个等腰三角形吗？一个三角形可以被分割成两个等腰三角形需满足什么条件？

难度：中等

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8．如图1：平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）满足a²+b²+2ab+
a+2
=0．
（1）求△AOB的面积；
（2）如图2，△OBD为等边三角形，作CB⊥y轴交AD延长线于C，作DE⊥CD交y轴于E．求证：BC=BE；
（3）如图3，C（c，2）为第二象限内一动点，且-2＜c＜0．AC的中垂线交x轴于E，连接DE交y轴于点F，求△BCF的周长．

难度：较易

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9． △ABC中，AB＞AC，G为BC的中点，P、A在直线BC的同侧，PG⊥BC，直线BP与直线AC相交于点D，直线CP与直线AB相交于点E，且∠BAC=2∠PBC．
（1）当点P在AB边上时（如图1），E与P重合，D与A重合．则线段BE与线段CD之间的数量关系是；
（2）当点P在△ABC内（如图2）时，线段BE与线段CD有何数量关系？证明你的结论；
（3）当∠BAC＞120°（如图3）时，请画出图形，并判断线段BE与线段CD之间的数量关系（直接写出结论，不证明）．

难度：较易

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10．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着直角三角形DBC（DC＜BC）的对角线交点O旋转（如图①→②），图中M、N分别为直角三角板的直角边与三角形DBC的边CD、BC的交点．
（1）我们知道，矩形是轴对称图形，请说出它的对称轴条数和对称轴，根据对称性，试问OA、OB、OC、OD有何数量关系．
（2）该学习小组中一名成员意外地发现：连接DN，发现△BND为特殊的三角形，试问此三角形是何特殊的三角形？并加以说明．
（3）在图①（三角板的一直角边与OD重合）中试问BN、CN、DC的关系并说明理由．
（4）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，请你用一等式在横线上直接表示出探究的结论：．（不需要说明理由）

难度：较易

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