知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．探索：在图1至图3中，已知△ABC的面积为a，

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S₁，则S₁=    （用含a的代数式表示）
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=    （用含a的代数式表示）
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S₃，则S₃=    （用含a的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的    倍．
应用：要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在△ABC的空地上种红花，然后将△ABC向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）．在第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花．如果种红花的区域（即△ABC）的面积是10平方米，请你运用上述结论求出：
（1）种紫花的区域的面积；
（2）种蓝花的区域的面积．

难度：中等

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2．在图1到图4中，已知△ABC的面积为m．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D使CD=BC，连接DA，若△ACD的面积为S₁，则S₁=    ．（用含m的式子表示）
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S₂，则S₂=    ．（用含a的代数式表示）
（3）如图3，在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD于E，得到△DEF，若阴影部分的面积为S₃，则_S3=    ．（用含a的代数式表示）
（4）可以发现将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF，如图3，此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的    倍．
（5）应用上面的结论解答下面问题：
去年在面积为15平方面的△ABC空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC内外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH，如图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？

难度：较难

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3．挑战极限：如图，已知四边形ABCD的面积为S，E、F为AB的三等分点，M、N为DC的三等分点．四边形EFNM的面积
1
3
S．（选填“＞”，“＜”，“=”，“≤”，“≥”）

难度：中等

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4．如图，△ABC的面积为1，D，E，F，G分别是BC，AC上的三等分点，求阴影四边形PQED的面积．

难度：中等

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5．（1）请在图①中作两条直线，使它们将正方形ABCD的面积三等分；
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，在图②中过顶点A作两条直线，使它们将矩形ABCD的面积三等分，井说明理由；
问题解决
（3）如图③，农博园有一块不规则的五边形ABCDE空地，其中AB∥CD、AE∥BC，AB=AC=100米，AE=160米，BC=120米，CD=62.5米，根据视觉效果和花期特点，农博园设计部门想在这片空地种上等面积的三种不同的花，要求从入口A点处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条小路将这块地面积三等分．请通过计算画图说明其设计部们能否实现，若能实现请确定小路尽头的位置．

难度：中等

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6．如图，已知四边形ABCD中E，F，G，H，N、N，R、S分别是四边形三等分点，求证：S_阴影=
1
9
S_{四边形ABCD}．

难度：较难

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7．下列四个图形中，阴影部分的面积分别为P、Q，则四个图形中P、Q的面积分别相等的图形有个．

难度：较易

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8．如图所示，已知四边形ABCD的面积为45，对角线AC、BD相交于点P，在四边形的两边AB，CD上分别有点M，N，且MB=
1
3
AB，BP=
3
5
BD，NC=
2
3
DC，PC=
2
3
AC，求四边形MBCN的面积．

难度：中等

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9．如图，已知△ABC的面积S=1，点P是边BC上异于端点的一个动点，过点P作PD∥AC，PE∥AB，分别交AB、AC为D、E，设
BP
BC
=x（0＜x＜1），△BDP的面积为S₁，△CEP的面积为S₂，四边形ADPE的面积为S₃．
（1）试用x表示S₂，并求当S₃=
4
9
时x的值；
（2）求证：S₁、S₂、S₃中至少有一个大于等于
4
9
．

难度：中等

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