知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•下城区期中）如图，直径为13的⊙E，经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x²+kx+60=0的两根．
（1）OA：OB= ；
（2）若点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当△BOC∽△BDA时，点D的坐标为．

难度：较难

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2．如图，已知双曲线y=
2
x
与直线y=x相交于A、B两点，点C（2，2）、D（-2，-2）在直线y=x上．
（1）若点P（1，m）为双曲线y=
2
x
上一点，求PD-PC的值（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则M，N两点间的距离为|MN|=
(x2-x1)2+(y2-y1)2
）
（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，请问PD-PC的值是否为定值？请说明理由．（参考公式：若a≥0，b≥0，则a+b≥2
ab
）
（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线上一动点，连接PC并延长PC交双曲线另一点E，当P点使得PE=4时，求P的坐标．

难度：较难

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3．（2016•临澧县模拟）如图，顶点M（0，-1）在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x轴上，连结AM，BM．
（1）求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）求点B的坐标；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？

难度：中等

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4．已知关于x的方程x²-2（a+b）x+c²+2ab=0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若CD是AB边上的高，AC=2，AD=1，求BD的长．

难度：中等

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5．如图：⊙O为△ABC的外接圆，∠C=60°，过C作⊙O的切线，交AB的延长线于P，∠APC的平分线和AC、BC分别相交于D、E．
（1）证明：△CDE是等边三角形；
（2）证明：PD•DE=PE•AD；
（3）若PC=7，S_△PCE=
15
3
4
，求作以PE、DE的长为根的一元二次方程；
（4）试判断E点是否能成为PD的中点？若能，请说明必需满足的条件，同时给出证明；若不能，请说明理由．

难度：中等

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6．某水果经销商到大圩种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB→BC→CD所示（不包括端点A），
（1）当500＜x≤1000时，写出y与x之间的函数关系式；
（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，大圩种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，若经销商一次性付了16800元货款，求大圩种植基地可以获得多少元的利润？

难度：中等

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7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=
5
4
x+m的图象与x轴交于A（-1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）的函数表达式．
（2）设点D（0，
25
12
），若F是抛物线C₁：y=ax²+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C₁于M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂）两点，试探究
1
M1F
+
1
M2F
是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C₁作适当平移，得到抛物线C₂：y₂=-
1
4
（x-h）²，h＞1．若当1＜x≤m时，y₂≥-x恒成立，求m的最大值．

难度：较难

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8．如图，直线L：y=-x+3与两坐标轴分别相交于点A、B．
（1）当反比例函数y=
m
x
（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点时，求m的取值范围．
（2）若反比例函数y=
m
x
（m＞0，x＞0）在第一象限内与直线L相交于点C、D，当CD=2
2
时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式-x+3＜
m
x
的解集．

难度：中等

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