数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题。下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
探究一：求不等式\(|x-1| < 2\)的解集
\((1)\)探究\(|x-1|\)的几何意义
如图\(①\)，在以\(O\)为原点的数轴上，设点\(A\)\(＇\)对应点的数为\(x-1\)，由绝对值的定义可知，点\(A\)\(＇\)与\(O\)的距离为\(|x-1|\)，可记为：\(A\)\(＇O=|x-1|\)。将线段\(A\)\(＇O\)向右平移一个单位，得到线段\(AB\)，此时点\(A\)对应的数为\(x\)，点\(B\)的对应数是\(1\)，因为\(AB=\) \(A\)\(＇O\)，所以\(AB=|x-1|\)。
因此，\(|x-1|\)的几何意义可以理解为数轴上\(x\)所对应的点\(A\)与\(1\)所对应的点\(B\)之间的距离\(AB\)。
\((2)\)求方程\(|x-1|=2\)的解
因为数轴上\(3\)与\(-1\)所对应的点与\(1\)所对应的点之间的距离都为\(2\)，所以方程的解为\(3\)，\(-1\)
\((3)\)求不等式\(|x-1| < 2\)的解集
因为\(|x-1|\)表示数轴上\(x\)所对应的点与\(1\)所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于\(2\)的点所对应的数\(x\)的范围。
请在图\(②\)的数轴上表示\(|x-1| < 2\)的解集，并写出这个解集
探究二：探究\( \sqrt{(x-a{)}^{2}+(y-b{)}^{2}} \)的几何意义
\((1)\)探究\( \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} \)的几何意义
如图\(③\)，在直角坐标系中，设点\(M\)的坐标为\((x,y)\)，过\(M\)作\(MP⊥x\)轴于\(P\)，作\(MQ⊥y\)轴于\(Q\)，则点\(P\)点坐标\((x,0)\)，\(Q\)点坐标\((0,y)\)，\(|OP|=x\)，\(|OQ|=y\)，在\(Rt\triangle OPM\)中，\(PM=OQ=y\)，则\(MO= \sqrt{O{P}^{2}+P{M}^{2}}= \sqrt{|x{|}^{2}+|y{|}^{2}}= \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} \)因此\( \sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}} \)的几何意义可以理解为点\(M(x,y)\)与原点\(O(0,0)\)之间的距离\(OM\)
\((2)\)探究\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \)的几何意义
如图\(④\)，在直角坐标系中，设点 \(A\)\(＇\)的坐标为\((x-1,y-5)\)，由探究\((\)二\()(1)\)可知， \(A\)\(＇O=\)\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \)，将线段 \(A\)\(＇O\)先向右平移\(1\)个单位，再向上平移\(5\)个单位，得到线段\(AB\)，此时\(A\)的坐标为\((x,y)\)，点\(B\)的坐标为\((1,5)\)。因为\(AB=\) \(A\)\(＇O\)，所以 \(AB\)\(=\)\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \)，因此\( \sqrt{(x-1{)}^{2}+(y-5{)}^{2}} \)的几何意义可以理解为点\(A(x,y)\)与点\(B(1,5)\)之间的距离。
\((3)\)探究\( \sqrt{(x+3{)}^{2}+(y+4{)}^{2}} \)的几何意义
请仿照探究二\((2)\)的方法，在图\(⑤\)中画出图形，并写出探究过程。
\((4)\)\( \sqrt{(x-a{)}^{2}+(y-b{)}^{2}} \)的几何意义可以理解为：_________________________．
拓展应用：
\((1)\)\( \sqrt{(x-2{)}^{2}+(y+1{)}^{2}}+ \sqrt{(x+1{)}^{2}+(y+5{)}^{2}} \)的几何意义可以理解为：点\(A(x,y)\)与点\(E(2,-1)\)的距离与点\(AA(x,y)\)与点\(F\)____________\((\)填写坐标\()\)的距离之和。
\((2) \sqrt{(x-2{)}^{2}+(y+1{)}^{2}}+ \sqrt{(x+1{)}^{2}+(y+5{)}^{2}} \)的最小值为____________\((\)直接写出结果\()\)