知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在等边△ABC中，P、Q是BC边上的两点，AP=AQ．
（1）如图1，已知∠BAP=20°，求∠AQP的度数；
（2）点P、Q在BC边运动（不与B、C重合），点P在点Q的左侧，点P关于直线AB的对称点为M，连接AM、QM．
①按题意，将图2补全；
②在点P、Q运动的过程中，小明通过观察、实验、提出以下两个猜想：
（a）始终有∠MAP=∠CAP；
（b）始终有QA=QM．
上述两个猜想你认为正确的是（填序号），请证明你的结论．

难度：较难

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2．在△ABC中，AB=AC，点D为射线CB上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作EF∥BC，交直线AC于点F，连接CE．
（1）如图①，若∠BAC=60°，则按边分类：△CEF是三角形；
（2）若∠BAC＜60°．
①如图②，当点D在线段CB上移动时，判断△CEF的形状并证明；
②当点D在线段CB的延长线上移动时，△CEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出结论（不必证明）．

难度：较难

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3．在△ABC中（如图1），AB=17，BC=21，AC=10．

（1）求△ABC的面积（某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，如图2，请你按照他们的解题思路完成解解答过程）．
（2）若点P在直线BC上，当△APC为直角三角形时，求CP的长．（利用（1）的方法）
（3）若有一点Q在在直线BC上运动，当△AQC为等腰三角形时，求BQ的长．

难度：中等

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4．在平面直角坐标系中，点A（-3，0），B（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，过点A作AD⊥BC交y轴于点E．

（1）如图①，若点C的坐标为（2，0），试求点E的坐标；
（2）如图②，若点C在x轴正半轴上运动，且OC＜3，其它条件不变，连接DO，求证：OD平分∠ADC
（3）若点C在x轴正半轴上运动，当AD-CD=OC时，求∠OCB的度数．

难度：较难

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5．已知如图（1）△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①图中有几个等腰三角形？且EF与BE、CF间有怎样的关系？（不证明）
②若AB≠AC，其他条件不变，如图（2），图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们．另第①问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？若存在请给出证明．
③若△ABC中，AB≠AC，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如图（3），这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF间的关系如何？为什么（要证明你的结论）？

难度：较难

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6．（2016秋•江阴市月考）如图，已知△ABC中，AB=AC=8cm，∠B=∠C，BC=5cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过秒后，点P与点Q第一次在△ABC的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

难度：较难

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7．问题情境：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为18，求△ACF与△BDE的面积之和是多少？

难度：较难

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8．（2016春•房山区期末）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形城池ABCD，城墙CD长 9 里，城墙BC长 7 里，东门所在的点E，南门所在的点F分别是CD，BC 的中点，EG⊥CD，EG=15里，FH⊥BC，点C在HG上，问FH等于多少里？答案是FH= 里．

难度：中等

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9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是线段AC上一点，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，点F是AB垂直平分线上一点，连接BF、EF．
（1）若AD=6
2
，tan∠BCE=
3
10
，求AB的长；
（2）如图1，当点F在AC边上时，求证：CE-BE=
2
EF；
（3）如图2，若∠BDC=75°，当∠AFB=30°时，直接写出（
EF
EC
）²的值．

难度：较难

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10．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图1中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并直接写出x所有可能的值；
（3）如图2，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．

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