知识点挑题 - 初中数学 - 优优班--学霸训练营

2．有n个数，第一个记为a₁，第二个记为a₂，…，第n个记为a_n，若a₁= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，且从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”．即a₂= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-a_%7B1%7D%7D$ ，a₂= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-a_%7B2%7D%7D$ ，…，a_n= $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-a_%7Bn-1%7D%7D$ ．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想并写出a₂₀₁₆，a₂₀₁₇的值；
（3）求a₁×a₂×a₃×…×a₂₀₁₅×a₂₀₁₆×a₂₀₁₇的值．

难度：易

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3．若x是不等于1的实数，我们把 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-x%7D$ 称为x的差倒数，如2的差倒数是 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-2%7D%3D-1$ ，-1的差倒数为 $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B1-%28-1%29%7D%3D%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，现已知 $x_%7B1%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B3%7D$ ，x₂是x₁的差倒数，x₃是x₂的差倒数，x₄是x₃的差倒数，…，依此类推，则x₂₀₁₂= ______ ．

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4．通过计算发现：
15×15=225=1×2×100+25；
25×25=625=2×3×100+25；
35×35=1225=3×4×100+25；
（1）请根据上述发现，试填空：
45×45= ______ = ______ × ______ ×100+25；
（2）请你根据上述发现，写出一般规律，并用整式的运算证明；
（3）请利用（2）中一般规律，计算1005×1005．

难度：易

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5．阅读下列材料，然后解答问题．
学会从不同的角度思考问题
学完平方差公式后，小军展示了以下例题：
例求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1值的末尾数字．
解：原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）+1
=2³²
由2ⁿ（n为正整数）的末尾数的规律，可得2³²末尾数数字是6．
爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为2²+1=5，而2+1，2⁴+1，2⁸+1，2¹⁶+1均为奇数，几个奇数与5相乘，末尾数字是5，这样原式的末尾数字是6．
在数学学习中，要向小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题，这样才能学会数学．
请解答下列问题：
（1）计算：（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）（2⁵+1）…（2ⁿ+1）+1（n为正整数）的值的末尾数字是 ______ ；
（2）计算：2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1值的末尾数字是 ______ ；
（3）计算：2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1．

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6．

如图，直线y=x与直线y=2x-1相交于点B，过B作BA⊥y轴于点A，点A关于点B的对称点为A₁，过A₁作A₂A₃∥y轴交直线l₂于点A₂，过A₂作A₂A₃∥x轴交直线l₁于点A₃，…，按这个方式操作，则线段A₁₅A₁₆的长为（　　）

A．20

B．128

C．192

D．256

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7．有一组数列：-1，0，1，-1，0，1，-1，0，1，-1，0，1，…按照这个规律，那么第2017个数是 ______ ．

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8．观察下列等式：
①2× $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B1%7D$ =2+ $%20%5Cfrac%20%7B2%7D%7B1%7D$ ，②3× $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ =3+ $%20%5Cfrac%20%7B3%7D%7B2%7D$ ，③4× $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ =4+ $%20%5Cfrac%20%7B4%7D%7B3%7D$ ，…
（1）猜想并写出第n个等式；
（2）证明你写出的等式的正确性．

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9．观察下列数字：
第1层　　　　 1　2
第2层　　　4　5　6
第3层　　9　10　11　12
第4层　16　17　18　19　20
…
在上述数字宝塔中，第4层的第二个数是17，请问2510为第 ______ 层第 ______ 个数．

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10．一组数据：2，1，3，x，7，-9，…，满足“从第三个数起，若前两个数依次为a、b，则紧随其后的数就是2a-b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2-1”得到，那么该组数据中的x为（　　）

A．-2

B．-1

C．1

D．2

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