已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+2\),它的图象经过点\((1,2)\).
\((1)\)若该图象与\(x\)轴的一个交点为\((-1,0)\).
\(①\)求二次函数\(y=ax^{2}+bx+2\)的表达式;
\(②\)出该二次函数的大致图象,并借助函数图象,求不等式\(ax^{2}+bx+2\geqslant 0\)的解集;
\((2)\)当\(a\)取\(a_{1}\),\(a_{2}\)时,二次函数图象与\(x\)轴正半轴分别交于点\(M(m,0)\),点\(N(n,0).\)如果点\(N\)在点\(M\)的右边,且点\(M\)和点\(N\)都在点\((1,0)\)的右边\(.\)试比较\(a_{1}\)和\(a_{2}\)的大小.